středa 2. listopadu 2011

Zlatý řez II.

[Abstract - Golden ratio I.
Second part of an article that introduces some mathematics thoughts about maille and its making, highlighting the various dependencies.]

Pokračování předchozího dílu

Pro kruh existuje vztah, který popisuje, jakou velikost musí mít aby se do něj naskládaly kroužky o průměru 1 (pro bližší čtení viz Packing problem). Pokud jsou vnitřní kroužky právě čtyři, pak se jedná o vztah 1+druhá odmocnina ze dvou, tedy vnitřní průměr musí alespoň 2,414... (ty tři tečky značí že číslo dále pokračuje do nekonečna) krát větší než do něj vložená kolečka o jednotkovém průměru. Takže pro každý zvolený vnitřní průměr kroužku existuje jistá hranice, kdy se prostě už nepodaří nacpat dovnitř čtyři další kroužky, protože budou z příliš silného drátu.

Tato hranice je v reálné brnířině mírně rozmazaná, protože kroužek netvoří ideální věneček – kroužky jsou různě zohýbané, drát je kulatý jen občas, v oblasti přesahu není kulatý ani náhodou, překáží nýtek atd. Zde se vrátím k tomu, kam až může klesnout poměr síly drátu a vnitřního průměru kroužku – rychlým pohledem do tabulky (dotyčná matematika je nad moje chabé síly) lze rychle zjistit, že od vzájemného poměru 2,5 níže začíná být v kroužku až nemožně těsno.

Jak by řekl Horst Fuchs: „a to ještě není všechno!“. Moderní tabulkové kalkulátory šetří čas, takže jsem zkusil jaké hodnoty budou dávat různé kombinace síly drátu a vnitřního průměru pro celkem 144 kombinací (síla drátu 0.5 – 2 mm, vnitřní průměr 4-8 mm). Po vynesení hodnot do grafů lze snadno nahlédnout,  že každá desetinka na síle drátu přidává na váze rychleji, než každý půl milimetr vnitřního průměru. Křivka nárůstu hmotnosti je v případě zesilování drátu strmější.

Což vede k celkovému závěru že pokud je pro nás důležitá váha košile, vyplatí se dělat z tenkého drátu – i za cenu menšího vnitřního průměru kroužků, jejich velkého počtu a tím i ceny. Pokud je pro nás důležitá nízká pracnost (cena...), tak je výhodnější dělat velké kroužky ze silného drátu. No a proč vlastně nejsou všechny dochované zbroje dělány z tenkého drátu natočeného do velkých kroužků? Věřím, že do hry vstupuje požadavek na estetickou kvalitu a/nebo ochranné vlastnosti. Takže máme tři protichůdné požadavky na hustotu (vzhled, funkci) pletiva, jeho cenu a jeho hmotnost,  přičemž výsledek je dán tím, čemu objednavatel přikládal aktuálně větší váhu. Ceremoniální zbroj jistě bude mít jiné kvality než například urgentní objednávka pro městskou gardu.

Zcela záměrně jsem vynechal otázku vlivu hustoty pletiva na jeho ochrannou funkci. Z několika důvodů se domnívám, že debata na toto téma je více-méně akademická, možná však někdy najdu chuť něco na toto téma zplodit.

Výše uvedené výpočty jsou pouze orientační; neuvažuji pletivo složené z několika druhů kroužků (různé průměry, síly), pletivo doplněné o kroužky např. o kroužky vysekávané z plechu nebo ze stříbra či slitin mědi, fakt že na reálné košili jsou málokdy všechny kroužky pletené pouze 4-in-1, že pletivo na košili nikdy není ideálně napnuté atd. atd. Důrazně varuji před slepým používáním níže uvedené tabulky pro přímý výpočet parametrů košile. Jedná se o idealizované výpočty a nikoliv o kalkulace na reálných vzorcích pletiva. Zejména váha bude v reálu vyšší než vypočítaná (mám to odzkoušeno na reálných pletivech).

Tabulku spočítaných hodnot lze pro volné použití stáhnout zde. Uživateli MusicianDalibor (viz komentáře pod článkem) tímto děkuji za vytvoření grafu, který je možno stáhnout zde.

5 komentářů:

  1. Myslím si, že údaje v tabulce nejsou správně vypočítané. Není zohledněn objem, který je přítomen v důsledku překrytí kroužku při přípravě díry na nýtek; ve vzorci pro objem byla špatně konstanta atd ... Převedl jsem jednak ty data do podoby stravitelnější pro 3D grafický editor a jednak přepočítal, aby čísla odpovídala realitě (aspoň trochu). Navíc tam je 3D obrázek závislosti hmotnosti kroužku na síle drátu / síle navíjecí kulatiny. Příp mohu udělat i další.
    Link: https://drive.google.com/open?id=0B55KozzmLYiHdy1UVTZtVE12NlE

    OdpovědětVymazat
    Odpovědi
    1. Úžasné!! Určitě se na data podívám, prosím, mohu je případně použít pro aktualizaci celého článku?

      Vymazat
    2. Určitě, proto jsem to dělal.

      Jen možná bude vhodné upravit rozsah vnitřního průměru (D), aby průměr po přeložení (D2) byly nějaké prakticky použitelnější hodnoty (3 mm je už asi hodně málo). Zatím jsem tabulku rozšířil o 3 sloupce nastavil hodnoty tak, aby byl vnitřní průměr D2 od cca 4 do cca 8.

      Pro další změny rozsahu veličiny D je nutné měnit už jen hodnoty u tabulky "objem" (ta první) na listu "objem" (ten první). Zbytek je s nimi provázaný a dopočítá se (resp. dobarví se) sám. Rozsah síly drátu asi nebude třeba měnit a žádné provázání jsem tam nedal.

      Upravený soubor jsem přidal do výše sdílené složky.

      Vymazat
  2. Je možné uvedený dokument ještě získat?:)

    OdpovědětVymazat
    Odpovědi
    1. Dobrý den, který máte na mysli? Graf od MusicianDalibor jsem do článku doplnil - měl jsem ho schovaný, bohužel už původní složka neexistuje.

      Vymazat