Zlatý řez II.

[Abstract - Golden ratio I.
Second part of an article that introduces some mathematics thoughts about maille and its making, highlighting the various dependencies.]

Pokračování předchozího dílu

Pro kruh existuje vztah, který popisuje, jakou velikost musí mít, aby se do něj naskládaly kroužky o průměru 1 (pro bližší čtení viz Packing problem). Pokud jsou vnitřní kroužky právě čtyři, pak se jedná o vztah 1+druhá odmocnina ze dvou, tedy vnitřní průměr musí být alespoň 2,414... (číslo dále pokračuje do nekonečna) krát větší než do něj vložená kolečka o jednotkovém průměru. Pro jakýkoli arbitrárně  zvolený vnitřní průměr kroužku existuje hranice, kdy se prostě už nepodaří nacpat dovnitř čtyři další kroužky, protože budou z příliš silného drátu.

Tato hranice je jistě v reálné brnířině mírně rozmazaná, protože kroužek netvoří ideální věneček – kroužky jsou různě zohýbané, drát je kulatý jen občas, v oblasti přesahu není kulatý ani náhodou, překáží nýtek atd. Zde se vrátím k tomu, kam až může klesnout poměr síly drátu a vnitřního průměru kroužku – rychlým pohledem do tabulky (dotyčná matematika je nad moje chabé síly) lze rychle zjistit, že od vzájemného poměru 2,5 níže začíná být v kroužku až nemožně těsno.

A jak by řekl Horst Fuchs: „a to ještě není všechno!“. Moderní tabulkové kalkulátory šetří čas, takže jsem zkusil jaké hodnoty budou dávat různé kombinace síly drátu a vnitřního průměru pro celkem 144 kombinací (síla drátu 0.5 – 2 mm, vnitřní průměr 4-8 mm). Po vynesení hodnot do grafů lze snadno nahlédnout,  že každá desetinka na síle drátu přidává na váze rychleji, než každý půl milimetr vnitřního průměru. Křivka nárůstu hmotnosti je v případě pouhého zesilování drátu strmější.

Což mě vede k celkovému závěru: pokud je pro nás důležitá váha košile, vyplatí se dělat z tenkého drátu – i za cenu menšího vnitřního průměru kroužků, jejich velkého počtu a tím i ceny. Pokud je pro nás důležitá nízká pracnost (cena...), tak je výhodnější dělat velké kroužky ze silného drátu. 

Dobře, a proč potom nejsou všechny dochované zbroje dělány z tenkého drátu natočeného do velkých kroužků ("řídké")? Věřím, že zde do hry vstupuje požadavek na estetickou kvalitu a/nebo jeho ochranné vlastnosti. Střetávají se zde tři protichůdné požadavky: 1) na hustotu (vzhled, funkci) pletiva, 2) jeho cenu a 3) jeho hmotnost. Přičemž výsledek je dán tím, čemu objednavatel přikládal aktuálně větší váhu. Ceremoniální zbroj jistě bude mít jiné kvality, než nějaká urgentní objednávka pro městskou gardu.

Zcela záměrně vynechávám otázku vlivu hustoty pletiva na jeho ochrannou funkci. Z několika důvodů si myslím, že debata na toto téma je více-méně akademická. Možná však někdy najdu chuť na toto téma cosi zplodit.

Výše uvedené výpočty jsou pouze orientační; neuvažuji pletivo složené z několika druhů kroužků (různé průměry, síly), pletivo doplněné o kroužky např. o kroužky vysekávané z plechu nebo ze stříbra či slitin mědi, fakt že na reálné košili jsou málokdy všechny kroužky pletené pouze 4-in-1, že pletivo na košili nikdy není ideálně napnuté atd. atd. 

Důrazně varuji před slepým používáním níže uvedené tabulky pro přímý výpočet parametrů košile. Jedná se o idealizované výpočty a nikoliv o kalkulace na reálných vzorcích pletiva. Zejména váha bude v reálu vyšší než vypočítaná (mám odzkoušeno na reálných pletivech).

Tabulku spočítaných hodnot lze pro volné použití stáhnout zde. Uživateli MusicianDalibor (viz komentáře pod článkem) tímto děkuji za vytvoření grafu, který je možno stáhnout zde.