Zlatý řez I.

[Abstract - Golden ratio I.
First part of an article that introduces some mathematics thoughts about maille and its making, highlighting the various dependencies.]

Titulek je zvolen záměrně; hodnota zlatého řezu (1.62…) sice v brnířině nehraje roli, ale sama jeho existence, spolu s dalšími iracionálními čísly, činí matematiku zábavnou a numerologii mystickou; a tento příspěvek bude trochu o matematice.

Čas od času se brníř musí zamyslet nad záludnou otázkou: jakou zvolit sílu drátu a jaký vnitřní průměr kroužku? Jakkoliv se zdá tato otázka jednoduchá (dneska máme normovaný drát a kulatinu, tak vo co go, že…), není tomu tak. Důvody proč se nad tímto zamýšlet, jsou v podstatě následující:

• Znát celkový počet kroužků na košili (dá se spočítat)
• Odhadnout celkovou hmotnost pletiva (dá se změřit)
• Estetický dojem (neměřitelný parametr statistické povahy)
• Zvýšení nebo snížení ochrany (neměřitelný parametr)

Tyto parametry jsou mezi sebou podivuhodným způsobem propleteny, a ne vždy si zákazník (a zákazník je náš pán) uvědomuje co změna parametru způsobí ve výsledku. Dříve než přikročím k matematice, je vhodné uvést některé zákonitosti, pokud by se vám nechtělo číst dál:

• Celkový počet kroužků na košili je určen pouze jejich vnitřním průměrem. Síla drátu nehraje roli.
• Váha košile je určena vnitřním průměrem kroužku a sílou drátu
• Zvýšení síly drátu o 0,1 mm zvýší hmotnost košile rychleji než zvýšení vnitřního průměru kroužku o 0,5 mm.
• Maximální síla drátu při se rovná vnitřní průměr drátu děleno asi 2,414...
• Minimální vnitřní průměr kroužku se rovná síla použitého drátu krát asi 2,414...
• Košile z nýtovaného pletiva bude těžší než identická ze zavíraných kroužků, a to přibližně o 12-18%.

Nyní k matematice: máme dány dva vstupní parametry, totiž vnitřní průměr kroužku a sílu drátu. S využitím vzorce pro výpočet válce lze spočítat objem idealizovaného věnečku (toru) – zanedbáme přesah a nýt. Ze známého objemu už lze spočítat hmotnost takto idealizovaného věnečku, hustota oceli se pohybuje okolo 7.85 gramu na krychlový centimetr. Nejpozději v tomto momentu je vhodné započítat alespoň přesah, který tvoří zhruba 10-15% obvodu kroužku, a tedy i jeho objemu a hmotnosti. Zda přičítat i nýtek, nechávám na čtenáři – podle mého odhadu bude jeho příspěvek k hmotnosti kroužku někde pod 5% (v přesahu a nýtku je důvod, proč bude zavíraná košile lehčí než nýtovaná). To je ta jednoduchá část.

Malá odbočka: proč jsou košile z tzv. podložek pérovek asi o 21% těžší než kroužkové košile ze zavíraného kulatého drátu? Zatímco kruh má obsah 3.14 krát r na druhou, pérovka má průřez zhruba čtvercový (a obsah je tedy 4 krát r na druhou).

Dalším číslem, který lze spočítat, je vzájemný poměr vnitřního průměru kroužku a síly drátu. Toto číslo je zajímavé ze dvou důvodů – jednak stěží klesne někam pod 2,5 (k tomu později) a jednak v určitém rozmezí určuje estetický dojem z pletiva. Vcelku jednoduše, pokud bude tento poměr nízký (dejme tomu někde mezi 2.5 a 4), tak bude pletivo na pohled “příliš husté” a bude těžké a málo “díraté“. Pokud bude tento poměr vysoký (dejme tomu od 6 výše), bude se pletivo naopak opticky jevit jako „příliš řídké“ a bude samozřejmě lehčí.

Je to samozřejmě otázka osobních preferencí, nicméně věřím, že statistickou analýzou zachovalých zbrojí bychom  došli k něčemu jako je Gaussovo rozdělení (taková ta zvonovitá křivka, která je občas vidět na něčím tričku). Jinak řečeno, větší část dochovaných zbrojí se svojí „hustotou sítě“ (nebo-li výše zmíněným poměrem) strefuje do poměrně úzkého rozmezí (řekněme 4-6), přičemž extrémy existují na obou stranách.

Pokračování příště...